愿景青春

三、计算题：解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．

1．一路灯距地面的高度为h，身高为l的人以速度v匀速行走，如图所示．

(1)证明人的头顶的影子做匀速度运动；

(2)求人影的长度随时间的变化率．

解：(1)设t=0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有 ，过路灯P和人头顶的直线与地面的交点M为t时刻人头顶影子的位置，如图所示．OM为人头顶影子到O点的距离．由几何关系，有

  ，即 .

因 与时间t成正比，故人头顶的影子做匀速运动．

 (2)由图可知，在时刻t，人影的长度为 ，由几何关系，有 ，则 .

可见影长 与时间t成正比，所以影长随时间的变化率为k 。

2．如图所示，物体A的质量m=3 kg，用两根轻绳B,C

连接于竖直墙上，要使两绳都能绷直，即物体A在如图所示位

置保持平衡，现施加一个力F作用于物体，力F的方向如图

69所示，若夹角8=600，求力F的大小应满足的条件．（取g=

10 m/s'）

解：A球受力如图所示，则有

水平方向：   ①

竖直方向：   ②

由②式得

由①、②式得

所以力F大小应满足的条件是17.3 N≤F≤34. 6 N.

3．如图所示，质量为M的木板放在倾角为 的光滑斜面上，质量为m的人在木板上跑，假如脚与板接触处不打滑．

(1)要保持木板相对斜面静止，人应以多大的加速度朝什么方向跑动？

(2）要保持人相对于斜面的位置不变，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向运动？

解（1)要保持木板相对斜面静止，木板要受到沿斜面向上的摩擦力与木板的下滑力平衡，即

根据作用力与反作用力的性质可知，人受到木板对他沿斜面向下的摩擦力，所以人受到的合力为

方向沿斜面向下．

(2）要保持人相对于斜面的位置不变，对人有 ，F为人受到的摩擦力且沿斜面向上，因此木板受到向下的摩擦力，木板受到的合力为 ，解得

  ，方向沿斜面向下．

4．放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力F的作用，力F的大小与时间t的关系和物块速度v与时间t的关系如图所示．取重力加速度g=10 m/s²．试利用两图线求出物块的质量及物块与地面间的动摩擦因数．

解：由v－t图象可知，物块在0～3s内静止，3 s～6 s内做匀加速运动，加速度为a,6 s～9 s内做匀速运动，结合F－t图象可知

f=4 N= mg，F₃一f=2 N=ma, v₂=6 m/s=at=3a,

由以上各式得m=1 kg， =0.4.

5．如图所示的装置可以测量飞行器在竖直方向上做匀加速直线运动的加速度．该装置是在矩形箱子的上、下壁上各安装一个可以测力的传感器，分别连接两根劲度系数相同（可拉伸可压缩）的轻弹簧的一端，弹簧的另一端都固定在一个滑块上，滑块套在光滑竖直杆上．现将该装置固定在一飞行器上，传感器P在上，传感器Q在下．飞行器在地面静止时，传感器P、Q显示的弹力大小均为10 N．求：

(1)滑块的质量．（地面处的g=10 m/s²)

(2)当飞行器竖直向上飞到离地面 处，此处的重力加速度为多大？(R是地球的半径）

(3)若在此高度处传感器P显示的弹力大小为F'=20 N，此时飞行器的加速度是多大？

解：(1)

(2)

解之得

(3)由牛顿第二定律，得 ,

所以 .

6．如图所示，一个人用与水平方向成 = 30⁰角的斜向下的推力F推一个质量为20 kg的箱子匀速前进，如图(a）所示，箱子与水平地面间的动摩擦因数为 ＝0.40．求：

(1)推力F的大小；

(2)若该人不改变力F的大小，只把力的方向变为与水平方向成30⁰角斜向上去拉这个静止的箱子，如图(b)所示，拉力作用2.0 s后撤去，箱子最多还能运动多长距离？(g取10 m/s²）．

解：(1)在图(a）情况下，对箱子有

 

由以上三式得F=120 N.

 (2）在图(b）情况下，物体先以加速度a₁做匀速运动，然后以加速度a₂做匀减速运动直到停止．对物体有

，

，

解之得s₂=13.5 m.

7．设雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的横截面积S成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即 （其中k为比例系数）．雨点接近地面时近似看做匀速直线运动，重力加速度为g．若把雨点看做球形，其半径为r,球的体积为 ，设雨点的密度为 ，求：

(1)每个雨点最终的运动速度 （用 、r、g、k表示）；

(2)雨点的速度达到 时，雨点的加速度a为多大？

解：(1)当f=mg时，雨点达到最终速度 ，则

得

(2）由牛顿第二定律得 ，

则

解得 ，即 。

8．有一研究性学习小组研究了这样一个课题：人从高处跳下超过多大高度时容易造成骨折．他们查得这样一些资料；一般成人的胫骨的极限抗压强度为p=1. 5×10⁸ Pa，胫骨的最小面积S=3.2×10^-4 m².假若一个质量为50 kg的人，从一定的高度直膝双足落地，落地时其重心又下降了约h=l. 0×10^-2 m，请你估算一下：当这个高度H超过多少米时，就可能导致胫骨骨折（计算结果保留两位有效数字，取g=10 m/s²）．

解：人的胫骨能承受的最大作用力

，

由动能定理得 ,

解得H=1. 9 m.

9.一列火车共有n节车厢且均停在光滑的轨道上，各车厢间距相等，间距总长为a．若第一节车厢以速度v向第二节车厢运动，碰后不分开，然后一起向第三节车厢运动，……依次直到第n节车厢．试求：

(1)火车的最后速度是多大？

(2)整个过程经历的时间是多长？

解：由动量守恒，有 ，解得

设每两节相邻车厢间距为 , .

碰撞后连接在一起的车厢节数依次为2节、3节…... (n－1)节，它们的速度相应为v/2, v/3…，所以火车的最后速度为v/n．通过各间距的时间相应地为

总时间为

10．如图所示，在光滑水平面上放一质量为M、边长为l的正方体木块，木块上有一长为L的轻质光滑棒，棒的一端用光滑铰链连接于地面上O点，棒可绕O点在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为m的均质金属小球．开始时，棒与木块均静止，棒与水平面夹角为 ．当棒绕O点向垂直于木块接触边方向转动到棒与水平面间夹角为 的瞬时，求木块速度的大小．

解：设杆和水平面成 角时，木块速度为v，小球速度为 ，与木块接触的杆上点B的速度为 ，因B点和小球m在同一杆上以相同角速度绕O点转动，所以有

   

木块在此瞬间的速度水平向左，此速度可看做是两个速度的合成，即木块绕O点转动速度 及木块沿杆方向小球m滑动的速度 _∥，所以 ，故

，

因从初位置到末位置的过程中只有小球重力对小球、轻杆、木块组成的系统做功，所以在上述过程中机械能守恒，则

综合上述得

11．如图所示，轻质细杆竖直位于相互垂直的光滑墙壁和光滑地板交界处，质量均为m的两个小球A与B固定在长度为L的轻质细杆两端，小球半径远小于杆长，小球A位于墙角处．若突然发生微小的扰动使杆沿同一竖直面无初速倒下，不计空气阻力，杆与竖直方向成 角( <arccos 2/3）时，求：

(1)球B的速度大小；

(2)球A对墙的弹力大小．

解：(1）如图所示，杆以球A为圆心，杆长L为半径做圆周运动，当杆与竖直方向或 角时，球B的速度大小为v，根据机械能守恒定律得 ，

   

(2)对球B受力分析及应用牛顿第二定律得 ,

设杆对小球A的弹力为 ，小球A对墙的弹力大小为N_l，则

,

解得球A对墙的弹力为 .

当 时，小球A离开墙角．

12．如图所示，三个物体质量 ，物体A与斜面间动摩擦因数为 ，斜面体与水平地面间摩擦力足够大，物体C距地面的高度为0. 8 m,斜面倾角为30⁰．求：

(1）若开始时系统处于静止状态，斜面体与水平地面之间有无摩擦力？如果有，求出这个摩擦力；如果没有，请说明理由．

(2）若在系统静止时，去掉物体B，求物体C落地时的速度．

解：(1)以A、B、C和斜面整体为研究对象，处于静止平衡，合外力为零，因水平方向没有受到其他外力，所以斜面和地面间没有摩擦力．

 (2)

13．在建筑工地上，我们常常看到工人用重锤将柱桩打入地下的情景．对此，我们可以建立这样一个力学模型：重锤质量为m，从高H处自由下落，柱桩质量为M，重锤打击柱桩的时间极短且不反弹．不计空气阻力，桩与地面间的平均阻力为f。利用这一模型，有一位同学求出了重锤一次打击柱桩进入地面的深度．

设柱桩进人地面的深度为h，则对垂锤开始下落到锤与柱桩一起静止这一全过程运用动能定理，得

得出

(1)你认为该同学的解法是否正确？请说出你的理由．

(2)假设每一次重锤打击柱桩时锤的速度为一定值，要使每一次重锤打击后桩更多地进入地下，为什么要求锤的质量远大于桩的质量？

解：(1)不对，因为在锤与桩碰撞过程中系统动能有损失．

(2)设锤每次打桩的速度都是v，发生完全非弹性碰撞后的共同速度是 ，则mv= (M+ m) ，非弹性碰撞后二者的动能为

当m>>M时，碰后二者的动能越趋向于 （初动能），即能量在碰撞过程中的损失趋向于零，故要求m>>M.

14．一辆汽车的质量是5×10³ kg，发动机的额定功率为60 kW,汽车所受阻力恒为5 000 N，如果汽车从静止开始以0. 5 m/s²的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125 m．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少？

下面是甲、乙两位同学的解法：

甲同学：

W=Pt=6×10⁴×22.36 J =1. 34×10⁶ J.

乙同学：F=ma＋f=7500 N.

W=Fs=7 500×125 J =9. 375×10⁵ J.

请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法．

解：甲、乙两位同学的解法都不正确．

甲同学把125 m全部当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间t，这一步就错了，然后又用公式W=Pt来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了．

而乙同学的做法中，第一步是正确的，但力F是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行驶时，牵引力是变力，做功不能用W=Fs来计算．

正确的解法是：汽车行驶的最大速度为  

根据动能定理得 ，

。

15．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面内 点之间来回滑动。 点与O点连线与竖直方向之间夹角相等且都为 ，均小于10⁰，图乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t＝0为滑块从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程中的守恒量。(g取10m／s²)

解：由图乙得小滑块在点A、 之间做简谐运动的周期为 ，由单摆振动周期公式 ，得半球形容器半径为 ．在最高点A，有

,

在最低点B，有

从点A到点B过程中，滑块机械能守恒，则

联立解得 =0. 99，m=0. 05 kg.

滑块的机械能为

16．杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽 略不计的长竹竿，质量为30 kg的演员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零．已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器，传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取g= 10 m/s².

求：(1)杆上的人下滑过程中的最大速度；

(2)竹竿的长度．

解：(1)以人为研究对象，人加速下滑过程中受重力mg和杆对人的作用力F₁，由题图可知，人加速下滑过程中杆对人的作用力F₁为180 N．由牛顿第二定律得

mg一F₁ =ma，则a=4 m/s².

1s末人的速度达到最大，则v= at₁=4 m/s.

(2）加速下降时位移为： =2 m.

减速下降时，由动能定理得

代入数据解得 .

17．如图所示，静止在水平桌面的纸带上有一质量为0. 1kg的小铁块，它离纸带的右端距离为0. 5 m，铁块与纸带间动摩擦因数为0.1．现用力向左以2 m/s²的加速度将纸带从铁块下抽出，求：（不计铁块大小，铁块不滚动）

(1)将纸带从铁块下抽出需要多长时间？

(2)纸带对铁块做多少功？

解：(1)设纸带的加速度为a₁，铁块的加速度为a₂．则

   ，得t=1s。

(2)  

18．质量为m的小球B用一根轻质弹簧连接．现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示，小球A从小球B的正上方距离为3 x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到O点（设两个小球直径相等，且远小于x₀，略小于直圆筒内径），已知弹簧的弹性势能为 ，其中k为弹簧的劲度系数， 为弹簧的形变量．求：

(1）小球A的质量．

(2）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值．

解：(1）由平衡条件得mg = k x₀，设球A的质量为m，与球B碰撞前的速度为v₁，由机械能守恒定律得

设球A、B结合后的速度为 ，由动量守恒定律得

由于球A、B恰能回到O点，根据动能定理得

解之得 .

(2）由B点向下运动的距离为x₁时速度最大，加速度为零．即 ，因为 ， ，所以 ．由机械能守恒得

.

19.一个质量为m=0. 20 kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光竖直的圆环上，弹簧固定于环的最高点A，环的半径R=0. 50 m,弹簧原长L₀ = 0. 50 m，劲度系数为4.8 N/m，如图所示，若小球从图示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能 =0. 60J；求：

(1)小球到C点时的速度v_C的大小．

(2)小球在C点时对环的作用力（g=10 m/S²).

解：小球由B点滑到C点，由动能定理得

 

得v_C=3 m/s.

(2）在C点时有 ,

设环对小球作用力为N，方向指向圆心，则

.

小球对环作用力为 , .

20．如图所示，顶角为2 、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点，中心轴PO位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度 绕竖直轴沿圆锥内壁在同一水平面上做匀速圆周运动，已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点m从a点经半周运动到b点时，圆锥体内壁对质点施加的弹力冲量．

解：质点做匀速圆周运动，设所受弹力为F，圆周运动的半径为R，在半个圆周内质点速度方向转过了 角，经历的时间为t，小球所受弹力的竖直分量、水平分量分别为 ，

弹力的竖直分量冲量为I₁ =mgt,

由动量定理可知，弹力水平分量冲量为 ,

弹力的合冲量为

方向与竖直方向的夹角为 ，得

21．如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A 和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．求：

(1)球B在最高点时，杆对水平轴的作用力大小．

(2）球B转到最低点时，球A和球B对杆的作用力分别是多大？方向如何？

解：(1)球B在最高点时速度为v₀，有

   ，得 .

此时球A的速度为 ，设此时杆对球A的作用力为F_A，则

   ,

A球对杆的作用力为 .

水平轴对杆的作用力与A球对杆的作用力平衡，再据牛顿第三定律知，杆对水平轴的作用力大小为F₀=1. 5 mg.

(2)设球B在最低点时的速度为 ，取O点为参考平面，据机械能守恒定律有

    

解得 。

对A球有

解得杆对A球的作用力 .

对B球有

解得杆对B球的作用力 .

据牛顿第三定律可知：A球对杆的作用力大小为0.3mg,方向向上；B对杆的作用力大小为3. 6mg，方向向下．

22．如图所示，一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球．今使手握的一端在水平桌面上做半径为R、角速度为 的匀速度圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为P，求：

(1）小球做匀速圆周运动的线速度大小；

(2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小．

22．解：(1）小球轨道半径为 ，小球角速度与手转动角速度相同，小球线速度为 ．

(2）人手对绳做功的功率等于小球克服摩擦力做功的功率，即 ，所以

23．如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量为M=20 kg．从水枪中喷出的水柱的横截面积为S=10 cm²，速度为v=10m/ s，水的密度为 =1. 0×10³kg/m³．若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中．当有质量为m=5 kg的水进入小车时，试求：

(1）小车的速度大小；

(2）小车的加速度大小．

解：(1)流进小车的水与小车组成的系统动量守恒，当淌入质量为m的水后，小车速度为v₁，则 即

(2）质量为m的水流进小车后，在极短的时间△t内，冲击小车的水的质量为

    

此时，水对车的冲击力为F，则车对水的作用力也为F，据动量定理有

   。

24．如图所示，质量为M=0. 9 kg的靶盒位于光滑水 平导轨上，当靶盒在O点时，不受水平力作用，每当它离开O点时，便受到一个指向O点的大小为F=40 N的水平力作用．在P处有一个固定的发射器，它可根据需要瞄准靶盒，每次发射出一颗水平速度v₀=60 m/s、质量m=0. 10 kg的球形子弹（子弹在空中运动时可以看做不受任何力作用），当子弹打入靶盒后便留在盒内．设开始时靶盒静止在O点，且约定每当靶盒停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒内．

(1）当第三颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的速度多大？

(2）若发射器右端到靶盒左端的距离s=0. 20 m，问至少应发射几颗子弹后停止射击，才能使靶盒来回运动而不碰撞发射器？（靶盒足够大）

解：(1）第一颗子弹射入时，有 在水平力作用下靶盒向右匀减速到零，再向左加速到O点，速度大小 ，方向向左．第二颗子弹射入时，有 代入数值得 ，即静止．第三颗子弹射入时，有  代入数值得 ．此即为靶盒离开O点时的速度大小．

(2)由（1)可知，射入的子弹为偶数时靶盒静止，射入的子弹为奇数时靶盒运动，设射入第k颗子弹时靶盒来回运动而不碰到发射器，则

    

解得k=13.5.

故至少应发射15颗子弹才能使靶盒来回运动而不碰撞发射器．

25．如图所示，质量为3m、长度为L的木块置于光滑的水平面上，质量为m的子弹以初速度v₀水平向右射入木块，穿出木块时速度为 ，设木块对子弹的阻力始终保持不变．

(1)求子弹穿透木块后，木块速度的大小；

(2)求子弹穿透木块的过程中，木块滑行的距离s；

(3)若改将木块固定在水平传送带上，使木块始终以某一恒定速度(小于v₀）水平向右运动，子弹仍以初速度v₀水平向右射入木块．如果子弹恰能穿透木块，求此过程所经历的时间．

解：(1) ，则 ．

(2)  

解之得 。

(3)

解之得 。

26．如图所示，P为位于某一高处的质量为m的物块，B为位于水平地面上的质量为M的特殊长平板， ，平板与地面间的动摩擦因数 =0. 02，在平板的表面上方存在一定厚度的“相互作用区域”，如图中划虚线的部分．当物块P进入相互作用区时，B便有竖直向上的恒力f作用于P, f=kmg，k =11，f对P的作用刚好使P不与B的上表面接触；在水 平方向上P、B之间没有相互作用力．已知物块P开始下落的时刻，平板B向右的速度为v₀=10 m/s, P从开始下落到刚达到相互作用区所经历的时间为t₀=2s．设B板足够长，保证物块P总能落入B板上方的相互作用区，取重力加速度g=10m/s²．求：

(1）物块P从开始自由下落到再次回到初始位置所经历的时间；

(2）当平板B开始停止运动的那一时刻，P已经回到初始位置多少次．

解：(1)物块P从开始下落到减速运动速度为零的全过程中，根据动量定理，有

   

则

故 .

(2）设在P运动的一个周期T内，B的速度减少量为△v,根据动量定理有

  

解得

P回到初始位置的次数 ，n应取整数，故n=10.

27．在绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船中，由于失重，因此无法利用天平称出物体的质量．科学家们用下述方法巧妙地测出了一物块的质量．将一带有推进器、总质量为m= 5 kg的小滑车静止放在一平台上，平台与小车间的动摩擦因数为0.005，开动推进器，小车在推进器产生的恒力作用下从静止开始运动，测得小车前进1. 25 m历时5s．关闭推进器，将被测物块固定在小车上，重复上述过程，测得5s内小车前进了1.00m．问：科学家们用上述方法测得的物块的质量M是多少？

解：设推进器产生的恒力为F，未放被测物块时小车加速度为a₁，则根据牛顿第二定律及运动规律可得F=m  ，

放上被测物块后，系统加速度为 , 则有

   F= (m+M) ，

代人数值后可解得M=1. 25 kg.

28．宇航员在一行星上以速度v₀竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经t秒后落回手中，已知该星球半径为R.

(1)要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？

(2)要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？已知取无穷远处引力势能为零时，物体距星球球心距离r时的引力势能为： . (G为万有引力常量）

解：(1）由题意可知星球表面重力加速度为 ，沿水平方向抛出而不落回星球表面意味着球的速度达到该星球的第一宇宙速度，则 ，即  

(2）由表面重力加速度可知势能公式为

由机械能守恒得

使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少为

29．某颗同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，用天文望远镜观察到被太阳光照射的该同步卫星．试问秋分这一天（太阳光直射赤道）从日落时起经过多长时间，观察者恰好看不见卫星．已知地球半径为R，地球表面处重力加速度为g，地球自转周期为T．不考虑大气对光的折射．

解：M表示地球的质量,m表示同步卫星的质量,r表示同步卫星距地心的距离．对同步卫星有

对地球表面上一物体有

由图得

30.2003年10月15日，我国成功发射了第一艘载人宇宙飞船“神舟”五号．火箭全长58.3 m，起飞重量479. 8 t，火箭点火升空，飞船进入预定轨道．“神舟”五号环绕地球飞行14圈约用时间21 h．飞船点火竖直升空时，航天员杨利伟感觉“超重感比较强”，仪器显示他对座舱的最大压力等于他体重的5倍．飞船进入轨道后，杨利伟还多次在舱内飘浮起来．假设飞船运行的轨道是圆形轨道．（地球半径R取6. 4 ×10³ km，地面重力加速度g取10 m/s²，计算结果取二位有效数字）

(1)试分析航天员在舱内“飘浮起来”的现象产生的原因．

(2)求火箭点火发射时，火箭的最大推力．

(3)估算飞船运行轨道距离地面的高度．

解：(1)航天员随舱做圆周运动，万有引力用来充当圆周运动的向心力，航天员对支撑物的压力为零，故航天员“飘浮起来”是一种失重现象．

(2）火箭点火时，航天员受重力和支持力作用且N=5mg，此时有N－mg= ma，解得a=4 g．此加速度即火箭起飞时的加速度，对火箭进行受力分析，列方程为F－Mg=Ma，解得火箭的最大推力为F=2.4×10⁷N.

(3）飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，

，

在地球表面，万有引力与重力近似相等，得 ，又 .

解得h=3. 1×10² km.

31．如图所示，一平板小车静止在光滑的水平面上，质量均为m的物体A、B分别以2v和v的初速度、沿同一直线同时从小车两端相向水平滑上小车．设两物体与小车间的动摩擦因数均为 ，小车质量也为m，最终物体A、B都停在小车上（若A、B相碰，碰后一定粘在一起）．求：

(1)最终小车的速度大小是多少，方向怎样？

(2）要想使物体A、B不相碰，平板车的长度至少为多长？

(3)从物体A、B开始滑上平板小车，到两者均相对小车静止，小车位移大小的取值范围是多少？

解：(1)对整体由动量守恒定律得

，则 ，方向向右．

(2)由功能关系得 ，则

(3)①物体A、B未相碰撞,B停止时，A继续运动，此时小

车开始运动．对小车应用动能定理得 ，则

②物体B速度为零时正好与A相撞，碰后小车开始加速，最终达到共同速度 ．对小车应用动能定理得 ，则

所以小车位移大小的取值范围是

32．如图所示，P是固定的竖直挡板，A是置于光滑平面上的平板小车（小车表面略低于挡板下端）,B是放在小车最左端表面上的一个可视为质点的小物块．开始时，物块随小车一起以相同的水平速度v向左运动，接着物块与挡板发生了第一次碰撞，碰后物块相对于车静止时的位置离小车最左端的距离等于车长的3/4，此后物块又与挡板发生了多次碰撞，最后物块恰好未从小车上滑落．若物块与小车表面间的动摩擦因数是个定值，物块与挡板发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短，试确定小车与物块的质量关系．

解：设小车、物块的质量分别为M和m，车长为L，物块与小车间的动摩擦因数为 ，初速度为 ．第一次碰后由于无机械能损失，因此物块的速度方向变为向右，大小仍为 ,此后它与小车相互作用，两者速度相等为v时（由题意知，此速度方向必向左，即必有M> m )，该次相对车的最大位移为l，对物块、小车系统由动量守恒定律有 ，由能量守恒定律有 .

多次碰撞后，物块恰未从小车的上表面滑落，表明最后当物块运动到小车最右端时两者刚好同时停止运动（或者速度同时趋于零）．对物块、小车系统由能量守恒定律有

，而 ，

由以上各式得 .

33．在光滑水平面上静置有质量均为m的木板AB和滑块CD，木板AB上表面粗糙．动摩擦因数为 ，滑块CD上表 面是光滑的1/4圆弧，其始端D点切线水平且在木板AB上表面内，它们紧靠在一起，如图所示．一可视为质点的物块P，质量也为m，从木板AB的右端以初速度v₀滑上木板AB,过B点时速度为v₀/2，又滑上滑块CD，最终恰好能滑到滑块CD圆弧的最高点C处，求：

(1）物块滑到B处时木板的速度vae；

(2）木板的长度L;

(3）滑块CD圆弧的半径R.

解：(1）由点A到点B时，取向左为正．由动量守恒得

，又 ，则

(2）由点A到点B时，根据能量守恒得

  ，则

(3）由点D到点C,滑块CD与物块P的动量守恒，机械能守恒，得

  

  

解之得

34．如图所示，质量为M的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一个质量为m的木块，车的右端固定一个轻质弹簧．现给木块一个水平向右的瞬时冲量I，木块便沿小车向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．试求：

(1)木块返回到小车左端时小车的动能．

(2)弹簧获得的最大弹性势能．

解：(1)选小车和木块为研究对象．由于m受到冲量I之后系统水平方向不受外力作用，系统动量守恒．则

小车的动能为 .

(2)当弹簧具有最大弹性势能时，小车和木块具有共同的速度，即为v．在此过程中，由能量守恒得

当木块返回到小车最左端时，由能量守恒得

联立得

35．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度为lm，上面连接一个质量为m₁=1 kg的物体，平衡时物体离地面0.9 m．距物体m₁正上方高为0. 3 m处有一个质量为m₂=1 kg的物体自由下落后与弹簧上物体m₁碰撞立即合为一体，一起在竖直面内做简谐运动．当弹簧压缩量最大时，弹簧长为0. 6 m．求（S取10 m/s²):

(1)碰撞结束瞬间两物体的动能之和是多少？

(2)两物体一起做简谐运动时振幅的大小？

(3)弹簧长为0.6m时弹簧的弹性势能大小？

解：(1）设m₂与m₁碰前瞬间速度为v₀，则

m₂与m₁碰撞瞬间竖直方向近似动量守恒，设共同速度为v₁，有

,

(2）当弹簧压缩量最大时，振动物体的速度大小为零，此时物体向下离开平衡位置距离最大，设为A即为所求振幅，则

 

(3 ) m₂与m₁碰后，系统机械能守恒．当弹簧长为0.6 m时，物体速度恰为零．则弹簧的弹性势能为 .

36．如图所示，质量均为m的两个小球A、B间有压缩 的轻、短弹簧，弹簧处于锁定状态，放置在水平面上竖直光滑的发射管内（两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略，它们整体视为质点），解除锁定时，A球能上升的最大高度为H.现在让两球A、B包括锁定的弹簧从水平面出发，沿光滑的半径为R的半圆槽从右侧由静止开始下滑，至最低点时，瞬间锁定解除，求A球离开圆槽后能上升的最大高度．

解：解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A的机械能，则弹簧弹性势能为 ，A、B系统由水平位置滑到圆轨道最低点时速度为v₀，解除弹簧锁定后A、B的速度分别为 ，则

        

即

由上述各式得 （ 舍去）

球A相对水平面上升最大高度为h，则 。

37．如图所示，一质量为m的滑块从高为h的光滑圆弧形槽的顶端A处无初速度地滑下，槽的底端B与水平传A带相接，传送带的运行速度为v₀，长为L,滑块滑到传送带上后做匀加速运动，滑到传送带右端C时，恰好被加速到与传送带的速度相同．求：

(1)滑块到达底端B时的速度v；

(2)滑块与传送带间的动摩擦因数 ；

(3)此过程中，由于克服摩擦力做功而产生的热量Q.

解：(1)设滑块到达B点的速度为v，由机械能守恒定律，有

  .

(2)滑块在传送带上做匀加速运动，受到传送带对它的滑动摩擦力，有 mg =ma,滑块对地位移为L，末速度为v₀，则 ，得

(3)产生的热量等于滑块与传送带之间发生的相对位移中克服摩擦力所做的功，即 为带与滑块间的相对位移，设所用时间为t，则 ，得 。

38．如图所示，水平传送带AB长1=8.3 m，质量为M=1 kg的木块随传送带一起以v₁=2 m/s的速度向左匀速度运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因 数 =0.5；当木块运动至最左端A点时，一颗质量为m=20 g的子弹以v₀=300 m/s水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出的速度u=50 m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射入点各不相同，g取10 m/s²．求：

(1)在被第二颗子弹击中前，木块向右运动距A点的最大距离是多少？

(2)木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？

(3)从第一颗子弹射中木块到第二颗子弹击中木块前的过程中，子弹、木块和传送带这一系统所产生的内能是多少？(g取10 m/s²）

解：(1)第一颗子弹射入木块过程中由动量守恒得

木块向右做减速运动，加速度 ,

木块速度减小为零所用时间 .

所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动距A点最远时，速度为零，移动距离为 。

(2)在第二颗子弹射中木块前，木块再向左做加速运动，时间为 ,速度增大为 （恰与传送带同速），向左移动的位移为 .

所以在两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块总位移 ，方向向右．

第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为 =7.5 m．第16颗子弹击中后，木块将会再向右移动0.9 m，总位移为8. 4 m>8. 3 m，木块将从B端落下．所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中．

(3）第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为

木块向右减速运动过程中产生的热量为  ,

木块向左加速运动过程中产生的热量为 .

全过程中产生的热量为 .

39．在某介质中形成一列简谐波，t=0时刻的波形如图中的实线所示．

(1)若波向右传播，零时刻刚好传到B点，且再经过0.6 s,P点也开始起振，求：

①该列波的周期T；

②从t=0时刻起到P点第一次达到波峰时止，O点对平衡位置的位移y₀及其所经过的路程s₀各为多少？

(2)若该列波的传播速度大小为20 m/s，且波形中由实线变成虚线需要经历0.525 s时间，则该列波的传播方向如何？

解：由图象可知, =2 m,A=2 cm.

(1）当波向右传播时，点B的起振方向竖直向下，包括P点在内的各质点的起振方向均为竖直向下．

①波速 ，由 ，得 ．

②由t= 0至P点第一次到达波峰止，经历的时间 ，而t=0时O点的振动方向竖直向上（沿y轴正方向），故经 时间，O点振动到波谷，即

(2）当波速v=20 m/s时，经历0.525 s时间，波沿x轴方向传播的距离 ，即 ，实线波形变为虚线波形经历了 ，故波沿x轴负方向传播．

40．如图所示，n个相同的木块（可视为质点），每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为l，第n个木块到桌面的距离也是l，木块与桌面间的动摩擦因数为 ．开始时，第1个木块以初速度v₀向左滑行，其余所有木块都静止，在每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动．最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下。

(1)求在整个过程中因碰撞而损失的总动能．

(2)求第i次 碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比．

(3）若n=4,l=0.10 m,v₀=3.0 m/s，重力加速度g=10m/ s²，求 的数值．

解：(1)整个过程木块克服摩擦力做功为

    

根据功能关系，整个过程中由于碰撞而损失的总动能为

  

(2)设第i次 碰撞前木块的速度为 ，碰撞后速度为 ，则 ,

碰撞中损失的动能 与碰撞前动能 之比为

    ．

(3)初动能为 ,

第1次碰撞前 ,

第1次碰撞后

第2次碰撞前

第2次碰撞后

第3次碰撞前

第3次碰撞后

据题意有

带入数据，联立求解得 =0. 15.